解微分方程式 dx/dy = a * x^(2/3)，其中 a 是常數。

Step-by-step solution

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   分離變數。 兩邊同除以 $x^{2/3}$ 再乘上 $dy$，就讓每個變數各自配上自己的微分：

   $x^{-2/3}\,dx=a\,dy.$

   注意除以 $x^{2/3}$ 只在 $x\ne0$ 時合法——$x=0$ 的情形必須另外檢查，而且在這題裡它確實有影響。

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   用冪函數法則把左邊積出來。 取 $n=-\tfrac23$，新的指數是 $n+1=\tfrac13$：

   $\int x^{-2/3}\,dx=\frac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}.$

   除以 $\tfrac13$ 就是乘上 $3$——這正是後來變成 $\tfrac{a}{3}$ 的那個因子的來源。

3. 3

   把右邊積出來並合併。 由於 $a$ 是常數，$\int a\,dy=ay$，所以

   $3x^{1/3}=ay+C.$

   一階方程式只需要一個任意常數。

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   明確解出 $x$。 除以 $3$ 並把常數吸收進去：

   $x^{1/3}=\frac{a}{3}y+C_{1}\;\Longrightarrow\;x=\left(\frac{a}{3}y+C_{1}\right)^{3}.$

   開立方是安全的，不會有 $\pm$ 的歧義，因為立方函數在實數上是一對一的——這一點與平方不同。

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   補上奇異解並驗證。 常數函數 $x\equiv0$ 滿足方程式（$\frac{dx}{dy}=0$ 而 $a\cdot0^{2/3}=0$），但它不屬於任何有限 $C_{1}$ 所給出的通解形式，所以它是一個貨真價實的奇異解。它也讓這題成為解不唯一的標準範例：通過點 $x=0$ 的解同時有 $x\equiv0$ 與 $x=\left(\tfrac{a}{3}y\right)^{3}$，因為 $x^{2/3}$ 在 $0$ 處不滿足 Lipschitz 條件。取 $a=1.7$、$C_{1}=0.4$，在 $y=1.1$ 處做數值檢查：$\frac{dx}{dy}=1.7802589$ 而 $ax^{2/3}=1.7802589$ ✓。