求 x 趨於 2 時 3x³ + 5x² + 4x − 10 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先看清你在對什麼樣的函數求極限。 式子 $3x^3+5x^2+4x-10$ 是多項式。多項式由 $x$ 與常數的和、積搭成，這樣的函數在每個實數處都連續。而「在 $a$ 處連續」說的正是

   $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

   所以這裡不需要任何代數技巧——整道題就歸結為一次求值。

2. 2

   把 $x=2$ 逐項代進去。 一項一項地算，算術才不會出岔子：

   $3(2)^3=3\cdot 8=24,\qquad 5(2)^2=5\cdot 4=20,\qquad 4(2)=8,\qquad -10$

3. 3

   把四項加起來。

   $24+20+8-10=42$

   所以

   $\lim_{x\to 2}\left(3x^3+5x^2+4x-10\right)=42$

4. 4

   確認直接代入是合法的。 直接代入只有在得到 $\tfrac00$ 或 $\tfrac{c}{0}$ 這類無定義形式時才會失效。這裡代出來的是有限數 $42$，沒有任何未定型需要處理——不用因式分解，不用有理化，也用不上羅必達法則。

5. 5

   從兩側做個粗略檢驗。 在 $x=2$ 稍偏一點處求值，$f(1.99)\approx 41.4023$，$f(2.01)\approx 42.6023$；數值從下方與上方一起向 $42$ 靠攏，這正是雙側極限為 $42$ 應有的樣子。