計算 (x² − 16)/(x + 4) 在 x 趨近 −4 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先代入，判定這是哪一類極限。 在 $x=-4$ 時，

   $\frac{(-4)^2-16}{-4+4}=\frac{0}{0}$

   分子與分母在同一點變成零，所以 $(x+4)$ 同時整除兩者，這個不連續點是可去的，而不是真的爆掉。

2. 2

   把分子按平方差分解。 由於 $16=4^2$，

   $x^2-16=(x-4)(x+4)$

   這就是取 $A=x$ 與 $B=4$ 的 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ 模式。

3. 3

   約掉 $(x+4)$。 對每個 $x\ne -4$，

   $\frac{x^2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4$

   原函數與直線 $y=x-4$ 在除了 $x=-4$ 這一點以外處處相同，而原函數在該點沒有定義——極限恰好會忽略那一點。

4. 4

   計算化簡後的一次函數。

   $\lim_{x\to -4}(x-4)=-4-4=-8$

5. 5

   看看圖形長什麼樣子。 原式的圖形就是直線 $y=x-4$，只是在 $(-4,-8)$ 處被挖了一個洞。極限 $-8$ 恰好就是那個洞的高度，這也是為什麼即使函數在那裡沒有值，答案依然是有限的。