求 (1 + tan²y) 對 y 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   不要逐項去積。 拆成 $\int 1\,dy+\int\tan^{2}y\,dy$ 雖然合法，卻毫無意義：第二塊如果不先用上那個能一舉解決整題的恆等式，根本寫不出初等原函數。

2. 2

   套用畢氏恆等式。 從 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 出發，每一項同除以 $\cos^2\theta$ 得到

   $\tan^{2}y+1=\sec^{2}y.$

   所以被積函數就只是 $\sec^{2}y$。

3. 3

   認出那個你早就知道的導數。 由於

   $\frac{d}{dy}\tan y=\sec^{2}y,$

   積分立刻就出來了：

   $\int\sec^{2}y\,dy=\tan y+C.$

4. 4

   寫出結果，別忘了積分常數。

   $\int\left(1+\tan^{2}y\right)dy=\tan y+C.$

5. 5

   微分回去驗證。 對 $\tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}$ 用商的微分法則：

   $\frac{d}{dy}\tan y=\frac{\cos^{2}y+\sin^{2}y}{\cos^{2}y}=\frac{1}{\cos^{2}y}=\sec^{2}y=1+\tan^{2}y,$

   恰好就是原本的被積函數。注意這個原函數只在每一段 $\cos y\neq 0$ 的區間上有效，也就是在相鄰兩個 $\tfrac{\pi}{2}$ 奇數倍之間。