求第 n 項為 1/(n(n + 2)) 的無窮級數之和，n 從 1 加到無窮大。

Step-by-step solution

1. 1

   拆成部分分式。 由 $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}$ 得 $1=A(n+2)+Bn$，所以 $A=\frac12$、$B=-\frac12$，也就是 $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$。

2. 2

   注意這是相隔兩項的相消。 與相鄰項相消的伸縮級數不同，每個負的部分要跟兩格之後的正的部分相消。這代表前端會留下兩項、後端也會留下兩項，而不是各留一項。

3. 3

   寫出部分和。 $S_N=\frac{1}{2}\left[\left(1+\frac12\right)-\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\right)\right]$，因為前端只有 $\frac11,\frac12$ 永遠不會被消掉，後端只有 $\frac{1}{N+1},\frac{1}{N+2}$ 永遠不會被消掉。

4. 4

   取極限。 當 $N\to\infty$ 時，尾端那兩個分數趨於零，剩下 $S=\frac{1}{2}\left(1+\frac12\right)$。

5. 5

   化簡。 $\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$。

6. 6

   數值檢查。 把前 $2\times10^{6}$ 項相加得 $0.7499995$，與 $\frac34$ 吻合到小數點後六位。