解微分方程式 y″ − 3y′ + 2y = eˣ。

Step-by-step solution

1. 1

   先解齊次方程式。 把 $y = e^{rx}$ 代入 $y'' - 3y' + 2y = 0$，得到特徵方程式

   $r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = 1,\ 2$

   所以 $y_h = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$。這一步必須排在特解之前，因為它會告訴你外力項是不是共振的。

2. 2

   辨認出共振。 外力項 $e^{x}$ 的指數是 $1$，剛好是特徵根之一—— $e^{x}$ 本身已經是齊次解。若試 $y_p = Ae^{x}$，代入後只會得到 $0$，永遠不會是 $e^{x}$，所以這個試解不可能成立。

3. 3

   把試解乘上 x。 遇到單根時，標準的修法是多乘一個 $x$：取 $y_p = Axe^{x}$。於是

   $y_p' = A(1 + x)e^{x}, \qquad y_p'' = A(2 + x)e^{x}$

4. 4

   代入並比對係數。

   $A(2+x)e^{x} - 3A(1+x)e^{x} + 2Axe^{x} = A e^{x}\left[(2+x) - 3(1+x) + 2x\right] = -Ae^{x}$

   含 $x$ 的項剛好完全抵銷——這正是共振試解選對了的標誌。令 $-Ae^x = e^x$ 得 $A = -1$，所以 $y_p = -xe^{x}$。

5. 5

   組合並驗證通解。

   $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x} - xe^{x}$

   驗算：取 $y_p = -xe^x$，則 $y_p' = -(1+x)e^x$、$y_p'' = -(2+x)e^x$，於是 $y_p'' - 3y_p' + 2y_p = e^x\left[-(2+x) + 3(1+x) - 2x\right] = e^x$，正如所求。