計算 1/(2 + 2x²)² 從負無窮大到正無窮大的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   第一步先把括號裡的常數提出來。 因為 $2+2x^2=2(1+x^2)$，

   $\left(2+2x^2\right)^{2}=4\left(1+x^2\right)^{2}\ \Longrightarrow\ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(2+2x^2\right)^2}=\frac14\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(1+x^2\right)^{2}}$

   在代換之前先這麼做，才能讓那個標準積分保持一眼可辨。

2. 2

   確認這個瑕積分收斂。 當 $|x|$ 很大時被積函數的行為像 $x^{-4}$，而 $\int^{\infty}x^{-4}\,dx$ 收斂，所以兩端的尾巴都是有限的，積分值定義良好。

3. 3

   做代換 $x=\tan\theta$。 此時 $dx=\sec^2\theta\,d\theta$ 且 $1+x^2=\sec^2\theta$，所以

   $\int\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\int\frac{\sec^2\theta}{\sec^4\theta}\,d\theta=\int\cos^2\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}$

4. 4

   在整條實數線上取上下限。 當 $x$ 從 $-\infty$ 跑到 $\infty$ 時，$\theta$ 從 $-\tfrac\pi2$ 跑到 $\tfrac\pi2$，而 $\sin 2\theta$ 在兩端都為零：

   $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}$

5. 5

   乘回那個常數。

   $\frac14\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}\approx 0.3926991$

6. 6

   用數值方法確認。 在 $[-2000,2000]$ 上以四百萬個子區間套用中點法則，得到 $0.39269908168$，而 $\pi/8=0.39269908170$ ——吻合到小數點後十位；至於 $\pm 2000$ 之外被截掉的尾巴，貢獻不到 $10^{-9}$。