求 (eˣ − 1)/x 在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

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   檢查形式。 代入 $x=0$ 得到 $\dfrac{e^0-1}{0}=\dfrac{0}{0}$，是不定型。直接代入行不通，所以這個極限必須靠某一條標準路線來建立。

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   路線一——認出這是一個導數。 $f(x)=e^{x}$ 在點 $0$ 的差商正好就是這個式子：

   $f^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$

   由於 $f^{\prime}(x)=e^{x}$ 且 $f^{\prime}(0)=e^{0}=1$，所以極限是 $1$。這是最根本的觀點：這個極限就是「$e^x$ 在原點的斜率是 $1$」這句話本身。

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   路線二——用馬克勞林級數。 由 $e^{x}=1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}+\cdots$，

   $\frac{e^{x}-1}{x}=\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots}{x}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\cdots\longrightarrow 1$

   這條路線給的比極限更多：它顯示這個商是線性地趨近 $1$，像 $1+\tfrac{x}{2}$ 那樣。

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   路線三——羅必達法則。 分子分母各自微分：

   $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{1}=1$

   要留意，如果拿它來證明這個結果會稍微有循環論證之嫌，因為計算 $\tfrac{d}{dx}e^x$ 本身就依賴這個極限。不過單就計算而言，它既直接又正確。

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   用數值確認，並注意左右兩側一致。 在 $x=0.001$ 時商是 $1.0005002$；在 $x=-0.001$ 時是 $0.9995002$。兩側都趨近 $1$，而偏差是 $\pm 0.0005\approx\tfrac{x}{2}$，跟級數所預測的完全吻合 $\checkmark$。