設 a > 0，把 ln(x + sqrt(a + x^2)) 改寫成反雙曲正弦的形式。

Step-by-step solution

1. 1

   注意這個版本哪裡不一樣。 標準恆等式

   $\operatorname{arsinh}(u)=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$

   要求根號下的常數是 $1$。這裡的常數是 $a$ 本身，不是 $a^{2}$，所以用來正規化它的縮放因子是 $\sqrt a$ 而不是 $a$——就這一個差別，改變了最後那個加法常數。

2. 2

   從根號裡把 $a$ 提出來。 對 $a>0$，

   $\sqrt{x^{2}+a}=\sqrt{a\left(\frac{x^{2}}{a}+1\right)}=\sqrt a\,\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)^{2}+1}$

   這裡把 $\dfrac{x^{2}}{a}=\left(\dfrac{x}{\sqrt a}\right)^{2}$ 寫出來，好露出需要的形式。

3. 3

   再從整個引數裡把 $\sqrt a$ 提出來。

   $x+\sqrt{x^{2}+a}=\sqrt a\left(\frac{x}{\sqrt a}+\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)^{2}+1}\right)$

   括號裡現在就字面上是 arsinh 恆等式的引數，其中 $u=\dfrac{x}{\sqrt a}$。

4. 4

   把乘積的對數拆開。 用 $\ln(MN)=\ln M+\ln N$，

   $\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+a}\right)=\ln\sqrt a+\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)$

5. 5

   化簡那個常數。 由於 $\ln\sqrt a=\ln a^{1/2}=\tfrac12\ln a$，

   $\ln\left(x+\sqrt{a+x^{2}}\right)=\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)+\frac12\ln a$

   拿它跟 $a^{2}$ 的版本比較，那裡的常數是完整的 $\ln a$：根號下的指數減半，對數也跟著減半。

6. 6

   做數值驗證。 取 $a=2.7$、$x=1.3$：左邊是 $\ln\left(1.3+\sqrt{2.7+1.69}\right)=1.2223723$，而 $\operatorname{arsinh}\left(1.3/1.64317\right)+\tfrac12\ln 2.7=0.72575+0.49663=1.2223723$ ✓。