化簡並因式分解 (y′)² − 4x²y′ + 4x⁴ − x²，再用這個分解式解出令它等於零所得的微分方程式。

Step-by-step solution

1. 1

   把 $y'$ 當成變數，讀出一個完全平方。 把前三項湊在一起，

   $(y')^2-4x^2y'+4x^4=(y'-2x^2)^2$

   因為 $2\cdot y'\cdot 2x^2=4x^2y'$ 且 $(2x^2)^2=4x^4$。剩下來的那一項就是 $-x^2$。

2. 2

   認出這是平方差。 現在整個式子是

   $(y'-2x^2)^2-x^2=\bigl(y'-2x^2-x\bigr)\bigl(y'-2x^2+x\bigr)$

   這裡用 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$，取 $A=y'-2x^2$、$B=x$。

3. 3

   展開回去驗證這個分解。 乘開後 $(y'-2x^2)^2-x^2=(y')^2-4x^2y'+4x^4-x^2$，正是原本的式子。用 $y'=1.4$、$x=0.7$ 抽驗，兩邊都得到 $-0.3136$。

4. 4

   令每個因式為零，把微分方程式拆開。 乘積為零就代表其中某個因式為零，於是這一個二次的常微分方程式分成兩個簡單的：

   $y'=2x^2+x\qquad\text{或}\qquad y'=2x^2-x$

5. 5

   兩個分支各自積分。

   $y=\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C\qquad\text{或}\qquad y=\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$

   得到兩族單參數解，這在意料之中：方程式對 $y'$ 是二次的，所以每一點上都有兩個容許的斜率。

6. 6

   把其中一個解代回原式檢查。 對 $y=\tfrac{2x^3}{3}+\tfrac{x^2}{2}$ 有 $y'=2x^2+x$，於是 $y'-2x^2=x$，因此

   $(y'-2x^2)^2-x^2=x^2-x^2=0\ \checkmark$

   另一族用 $y'-2x^2=-x$ 同理可證。