用 f(x) = 64 加 x 的立方根在 x = 0 處的局部線性近似估計 62.5 的立方根，並與精確值比較。

Step-by-step solution

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   先想清楚為什麼函數寫成 $\sqrt[3]{64+x}$ 而不是 $\sqrt[3]{x}$。 線性近似只在基準點附近準確，而且只有當基準點是你能精確求值的地方時才有用。這裡 $64$ 是完全立方數、$62.5$ 又離它很近，所以平移變數後基準點落在 $x_0=0$，且 $f(0)=\sqrt[3]{64}=4$ 是精確已知的。

2. 2

   求導並在基準點求值。 把 $f(x)$ 寫成 $(64+x)^{1/3}$，

   $f'(x)=\frac13(64+x)^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(64+x)^2}}$

   $f'(0)=\frac{1}{3\cdot 64^{2/3}}=\frac{1}{3\cdot 16}=\frac{1}{48}$

3. 3

   寫出線性化式。 在 $x_0=0$ 處的切線是

   $L(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=4+\frac{x}{48}$

   它的意思是：被開方數改變一點點 $x$，立方根大約改變 $x/48$。這個因子 $1/48$ 就是整個近似的全部內容。

4. 4

   選出能產生所求數字的輸入值。 需要 $64+x=62.5$，所以

   $x=-1.5$

   $\sqrt[3]{62.5}\approx L(-1.5)=4+\frac{-1.5}{48}=4-0.03125=3.96875=\frac{127}{32}$

5. 5

   與精確值比較。

   $\sqrt[3]{62.5}=3.968503\ldots$

   $\text{absolute error}=3.96875-3.968503=0.000247,\qquad\text{relative error}\approx 0.0062\%$

   只算了一次導數，前四位數字就完全吻合。

6. 6

   解釋誤差的方向，這不是巧合。 再微分一次，

   $f''(x)=-\frac{2}{9}(64+x)^{-5/3}<0$

   所以 $f$ 在 $x=0$ 附近凹向下，圖形落在每一條切線的下方。因此線性估計必然是高估 —— 而 $3.96875>3.968503$ 確實如此。同樣的推理預測誤差以 $\tfrac12|f''(0)|x^2$ 的量級成長，$x=-1.5$ 時約為 $0.00024$，幾乎完全對上觀察到的誤差。