求 (sin x)/x 的 1/(cos x − 1) 次方在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   判定不定型。 當 $x \to 0$ 時底 $\frac{\sin x}{x} \to 1$，而指數 $\frac{1}{\cos x - 1} \to \pm\infty$（它是負的，因為 $\cos x - 1 < 0$）。這就是 $1^{\infty}$ 型，它的值真的是未定的——可以是任何東西——所以必須把它解開，而不是用猜的。

2. 2

   取對數，把次方變成商。 令 $L$ 為這個極限。那麼

   $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{\cos x - 1}$

   現在它是單純的 $0/0$ 極限，用級數展開處理很乾淨。

3. 3

   把底展開到 x² 階。 由 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$：

   $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)$

   接著對 $u = -\frac{x^2}{6}$ 使用 $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$：

   $\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)$

   最低次項是二次而不是一次——這就是為什麼分母也必須取到 $x^2$ 階。

4. 4

   把分母展開到同一階。 由 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$：

   $\cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$

5. 5

   相除再取指數。 $x^2$ 這個因式約掉，兩個負號也互相抵消：

   $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2/6}{-x^2/2} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$

   因此

   $L = e^{1/3} \approx 1.39561$

6. 6

   用數值確認。 把原式在 $x = 10^{-2}$ 求值得到 $1.3956179$，在 $x = 10^{-4}$ 得到 $1.3956124$，而 $e^{1/3} = 1.3956124$。這個函數是偶函數，所以 $x < 0$ 給出相同的值——雙側極限存在。