計算 x² + 3 對 x 從 x = 0 到 x = 1 的定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   把和拆成兩個積分。 積分具有線性，所以兩項可以各自處理：

   $\int_{0}^{1}\left(x^{2}+3\right)dx=\int_{0}^{1}x^{2}\,dx+\int_{0}^{1}3\,dx.$

2. 2

   用冪次法則各自求反導函數。 對 $n\ne-1$ 套 $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$：

   $\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int 3\,dx=3x.$

   所以整個被積函數的一個反導函數是 $F(x)=\frac{x^{3}}{3}+3x$。定積分不需要積分常數——它在相減時會抵消掉。

3. 3

   套用微積分基本定理。 把 $F$ 在上限求值，再減去它在下限的值：

   $\left[\frac{x^{3}}{3}+3x\right]_{0}^{1}=F(1)-F(0).$

4. 4

   算出這兩個值。 在 $x=1$：

   $\frac{1}{3}+3=\frac{1}{3}+\frac{9}{3}=\frac{10}{3}.$

   在 $x=0$：$0+0=0$。相減得到

   $\int_{0}^{1}\left(x^{2}+3\right)dx=\frac{10}{3}-0=\frac{10}{3}\approx3.3333.$

5. 5

   用幾何估計做合理性檢查。 在 $[0,1]$ 上被積函數從 $3$ 上升到 $4$，所以面積必定嚴格介於 $3\times1=3$ 與 $4\times1=4$ 之間——而 $\tfrac{10}{3}=3.33$ 確實如此 ✓。拆開來看，常數 $3$ 貢獻一個面積為 $3$ 的矩形，$x^{2}$ 則貢獻 $\tfrac13$，那正是單位拋物線下方那塊眾所周知的面積。