解微分方程式 dy = dx/(y - 1)^2。

Step-by-step solution

1. 1

   先改寫成導數的形式。 兩邊同除以 $dx$：

   $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(y-1)^2}$

   右邊只依賴 $y$，所以方程式是可分離的。注意限制 $y\neq1$，右邊在該處沒有定義。

2. 2

   分離變數。 兩邊同乘上 $(y-1)^2$ 與 $dx$：

   $(y-1)^2\,dy=dx$

   那個平方因子被移到 $y$ 這一側，正是這一步讓積分變成初等的。

3. 3

   兩邊積分。 代入 $u=y-1$（於是 $du=dy$），左邊的積分就變成單純的冪次：

   $\int(y-1)^2dy=\int u^2du=\frac{u^3}{3}=\frac{(y-1)^3}{3},\qquad \int dx=x+C$

   所以

   $\frac{(y-1)^3}{3}=x+C$

4. 4

   把分母清掉。 乘上 $3$ 會把常數一併吸收（$3C$ 與 $C$ 一樣任意）：

   $(y-1)^3=3x+C$

   這就是隱式的通解。

5. 5

   明確解出 y。 立方根在實數上是單值的——與平方根不同，沒有 $\pm$，也不必分正負號討論：

   $y-1=\sqrt[3]{3x+C}\qquad\Longrightarrow\qquad y=1+\sqrt[3]{3x+C}$

   解恰好在 $3x+C=0$ 之處通過 $y=1$；該處導數是無窮大，所以曲線在那裡有一條鉛直切線。

6. 6

   用隱函數微分驗證。 由 $(y-1)^3=3x+C$ 得 $3(y-1)^2y'=3$，所以 $y'=\dfrac{1}{(y-1)^2}$ ✓——正是原方程式。數值上取 $C=2$，在 $x=0.5,\,2.0,\,4.0$ 處，$y=1+\sqrt[3]{3x+2}$ 的差商與 $\tfrac{1}{(y-1)^2}$ 吻合到四位數字 ✓。