求 4x²z³y 的三重積分，x 從 2 到 3、y 從 1 到 2、z 從 0 到 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先注意到被積函數可以分離。 $4x^2z^3y$ 是 $\left(4x^2\right)\cdot(y)\cdot\left(z^3\right)$ 這種一個變數配一個因子的乘積，而長方體在每個變數上的上下限都是常數。滿足這兩個條件時，三重積分就會分解成三個單一積分的乘積。

2. 2

   對 $x$ 從 2 積到 3。 $\displaystyle\int_2^3 4x^2\,dx=\left[\frac{4x^3}{3}\right]_2^3=\frac{4(27-8)}{3}=\frac{76}{3}$。

3. 3

   對 $y$ 從 1 積到 2。 $\displaystyle\int_1^2 y\,dy=\left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2=\frac{4-1}{2}=\frac32$。

4. 4

   對 $z$ 從 0 積到 1。 $\displaystyle\int_0^1 z^3\,dz=\left[\frac{z^4}{4}\right]_0^1=\frac14$。

5. 5

   把三個結果相乘。 $\frac{76}{3}\cdot\frac32\cdot\frac14=\frac{76}{8}=\frac{19}{2}=9.5$。

6. 6

   數值驗證。 對同一個累次積分做巢狀的複合辛普森法計算，回傳 $9.4999999\ldots$，與精確值 $\tfrac{19}{2}$ 吻合到七位數。