解微分方程式 dy/dx = 2y - x。

Step-by-step solution

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   把方程式寫成標準的線性形式。 把 $y$ 那一項移到左邊，讓它讀作 $y'+P(x)y=Q(x)$：

   $\frac{dy}{dx}-2y=-x,\qquad P(x)=-2,\quad Q(x)=-x$

2. 2

   造出積分因子。

   $\mu(x)=e^{\int P\,dx}=e^{\int-2\,dx}=e^{-2x}$

   它的作用是讓左邊變成單一個導數，這正是把常微分方程式化成單純積分的關鍵。

3. 3

   兩邊同乘，並認出乘積的導數。

   $e^{-2x}\frac{dy}{dx}-2e^{-2x}y=-xe^{-2x}\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dx}\left(ye^{-2x}\right)=-xe^{-2x}$

4. 4

   用分部積分算右邊。 取 $u=x$、$dv=-e^{-2x}dx$，於是 $du=dx$ 且 $v=\tfrac12 e^{-2x}$：

   $\int -xe^{-2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{-2x}-\int\frac{1}{2}e^{-2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{-2x}+\frac{1}{4}e^{-2x}+C$

5. 5

   解出 $y$ 並驗證。 兩邊同乘 $e^{2x}$：

   $y=Ce^{2x}+\frac{x}{2}+\frac{1}{4}$

   檢查：$y'=2Ce^{2x}+\tfrac12$，而 $2y-x=2Ce^{2x}+x+\tfrac12-x=2Ce^{2x}+\tfrac12$ $\checkmark$。兩者對每個 $C$ 都相符，其中 $\tfrac{x}{2}+\tfrac14$ 是特解，而 $Ce^{2x}$ 是齊次的部分。