求 x²y² 在拋物面 x² + y² = 2z 內部、介於平面 z = 2 與 z = 8 之間的立體上的三重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   用柱面座標描述這個立體。 曲面 $x^2+y^2=2z$ 是向上張開的拋物面，即 $z=\tfrac{r^2}{2}$。「在拋物面內部」代表 $r^2\le 2z$，所以在高度 $z$ 處水平切片會得到半徑 $\sqrt{2z}$ 的圓盤：

   $2\le z\le 8,\qquad 0\le r\le \sqrt{2z},\qquad 0\le\theta\le 2\pi$

   以 $z$ 切片（而不是把 $z$ 留到最後才積）正是上下限能保持簡單的原因——每個截面都是完整的圓盤。

2. 2

   換掉被積函數與體積元素。 取 $x=r\cos\theta$ 與 $y=r\sin\theta$，

   $x^2y^2=r^4\cos^2\theta\sin^2\theta,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

   於是被積函數整體的次方變成 $r^5$：

   $\iiint_E x^2y^2\,dV=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^5\cos^2\theta\sin^2\theta\,dr\,d\theta\,dz$

   漏掉雅可比因子 $r$ 是最常見的錯誤，那樣這裡只會剩下 $r^4$。

3. 3

   把角度因子分離出來。 上下限裡沒有任何東西依賴 $\theta$，所以三重積分會分解成 $\theta$ 的積分與 $(r,z)$ 的積分之乘積。用 $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin 2\theta$，

   $\cos^2\theta\sin^2\theta=\frac{\sin^2 2\theta}{4}=\frac{1-\cos 4\theta}{8}$

   $\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\sin^2\theta\,d\theta=\frac{1}{8}\left[\theta-\frac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{2\pi}=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$

4. 4

   先做徑向積分，再做 $z$ 的積分。 固定 $z$，

   $\int_0^{\sqrt{2z}} r^5\,dr=\frac{(2z)^3}{6}=\frac{8z^3}{6}=\frac{4z^3}{3}$

   再把它在 $2\le z\le 8$ 上積分：

   $\int_2^8 \frac{4z^3}{3}\,dz=\frac{4}{3}\left[\frac{z^4}{4}\right]_2^8=\frac{1}{3}\left(4096-16\right)=1360$

5. 5

   把兩個因子相乘，並檢查數量級。

   $\iiint_E x^2y^2\,dV=1360\cdot\frac{\pi}{4}=340\pi\approx 1068.1$

   正負號沒問題：被積函數 $x^2y^2$ 永遠非負，所以答案必須是正的。粗略的上界也支持這個數量級——這個立體裝得進半徑 $4$、高 $6$ 的圓柱，其中 $x^2y^2\le r^4/4\le 64$，給出約 $64\cdot\pi\cdot 16\cdot 6\approx 19300$ 的上界，遠高於 $340\pi$。