求 1/(1 + x)^2 的馬克勞林級數，到 x 的 7 次項為止。

Step-by-step solution

1. 1

   從一個已經知道的級數出發。 幾何級數給出，當 $|x|<1$ 時，

   $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$

   與其在 $0$ 處硬算 $(1+x)^{-2}$ 的七階導數，不如注意目標式與這個級數的關係。

2. 2

   兩邊各微分一次。 由於 $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}$，逐項微分後取負號就直接得到目標：

   $-\frac{1}{(1+x)^2}=-1+2x-3x^2+4x^3-\cdots\;\Longrightarrow\;\frac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+\cdots$

   在收斂半徑之內逐項微分是合法的，而收斂半徑仍然是 $|x|<1$。

3. 3

   寫出一般項係數。 規律是正負號交替、大小逐次遞增：

   $\frac{1}{(1+x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1)x^n$

   可以拿二項級數 $(1+x)^{-2}=\sum\binom{-2}{n}x^n$ 來核對，因為 $\binom{-2}{n}=(-1)^n(n+1)$。

4. 4

   列出到 7 次為止的各項。

   $\frac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+7x^6-8x^7+O\!\left(x^8\right)$

5. 5

   驗一個數值，並注意收斂的界限。 在 $x=0.1$ 處截斷後得到 $1-0.2+0.03-0.004+0.0005-0.00006+0.000007-0.0000008=0.8264462$，而精確值是 $\dfrac{1}{1.1^2}=0.\overline{8264462809917355371900}$ $\checkmark$。在 $x=1$ 處級數變成 $1-2+3-4+\cdots$，並不收斂，這與從幾何級數繼承來的收斂半徑 $|x|<1$ 一致。