求 xyz 在立體區域 0 ≤ z ≤ 3 且 x² + y² ≤ z 上的三重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   描述這個立體。 條件 $x^{2}+y^{2}\le z$ 把點放在拋物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 內部，而 $z\le 3$ 用一個平面把它蓋起來。在高度 $z$ 處的截面是半徑 $\sqrt z$ 的圓盤，所以這個立體是深度 $3$、頂面半徑 $\sqrt3$ 的碗。

2. 2

   換到柱面座標。 取 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ 與 $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$，

   $xyz=r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot z,$

   所以

   $\iiint_E xyz\,dV=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt3}\!\int_{r^{2}}^{3} r^{3}z\cos\theta\sin\theta\,dz\,dr\,d\theta.$

3. 3

   注意到這個積分可以分離。 上下限裡沒有任何東西依賴 $\theta$，而被積函數對 $\theta$ 的依賴只有 $\cos\theta\sin\theta$ 這一個因子。因此整個三重積分分解成

   $\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{\sqrt3}\!\int_{r^{2}}^{3}r^{3}z\,dz\,dr\right).$

   在動手算任何東西之前先檢查這一點，可以省下整個徑向的計算。

4. 4

   算出角度因子。 用 $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin 2\theta$，

   $\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin 2\theta}{2}\,d\theta=\left[-\frac{\cos 2\theta}{4}\right]_{0}^{2\pi}=-\frac14+\frac14=0.$

5. 5

   下結論，並看看幾何上的原因。 既然第一個因子是 $0$，第二個又是有限值，整個積分就是

   $\iiint_E xyz\,dV=0.$

   原因在於對稱性：立體在 $x\mapsto-x$ 之下不變，而 $xyz$ 會變號，所以貢獻兩兩抵銷。對這個區域做數值三重積分，回傳 $-9.6\times10^{-16}$，也就是機器精度下的零。