求函數 y = (1/3)x³ + x² − 8x + 1 的臨界值，並把較小的值寫在前面。

Step-by-step solution

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   動手微分之前，先弄清楚臨界值是什麼。 臨界值就是使 $y'=0$ 或 $y'$ 不存在的那些 $x$。這裡的 $y$ 是多項式，導數處處存在，所以第二種可能性直接排除——整道題就只是解 $y'=0$。$x^{3}$ 前面那個 $\tfrac13$ 存在的用意，正是要讓導數的首項係數變成 $1$。

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   用冪次法則逐項微分。 每一項都是 $x$ 的某個次方乘上一個常數：

   $y'=\frac{1}{3}\cdot 3x^{2}+2x-8+0=x^{2}+2x-8$

   常數項 $+1$ 什麼都不貢獻，所有常數都是如此。

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   令導數等於零。 臨界值就是下列方程式的解

   $x^{2}+2x-8=0$

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   用因式分解，不必動用公式解。 找兩個數，乘積是 $-8$、和是 $+2$；答案是 $+4$ 與 $-2$：

   $x^{2}+2x-8=(x+4)(x-2)=0$

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   解出每個因式並排好順序。 讓每個因式各自為零，得到

   $x+4=0\ \Rightarrow\ x=-4,\qquad x-2=0\ \Rightarrow\ x=2$

   所以臨界值是 $x=-4$ 與 $x=2$，較小的是 $x=-4$。

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   把導數與這兩個根都驗算一次。 代回去：$(-4)^{2}+2(-4)-8=16-8-8=0$，而 $2^{2}+2(2)-8=4+4-8=0$，可見兩個都是真正的根。另外對原本的 $y$ 做中央差分求導數，在 $x=0.5$ 得到 $-6.75$、在 $x=-1.2$ 得到 $-8.96$，都與 $x^{2}+2x-8$ 在那兩點的值吻合，可見導數本身也算對了。