計算當 x 從右側趨近 0 時，(x / ((e^x − 1) cos √x)) 的 1 / ((1 + sin(x²))^(1/x) − 1) 次方的極限。選項為 e^(1/2)、e^(−1/2)、e 或 1。

Step-by-step solution

1. 1

   辨認不定型，並架好標準的化簡方式。 底趨近 $1$ 而指數無限增大，所以這是 $1^{\infty}$ 型。令 $L=\lim u^{v}$ 並使用

   $L=\exp\left(\lim v\ln u\right)\approx\exp\left(\lim v(u-1)\right),$

   因為當 $u\to 1$ 時 $\ln u\sim u-1$。現在一切取決於 $u-1\to 0$ 的速度，與 $v\to\infty$ 相比誰快誰慢。

2. 2

   展開指數的分母。 對很小的 $x$，$\sin x^{2}=x^{2}+O(x^{6})$，所以

   $\left(1+\sin x^{2}\right)^{1/x}=\exp\left(\frac{\ln\left(1+x^{2}+\cdots\right)}{x}\right)=\exp\left(x+O(x^{3})\right)=1+x+O(x^{2}).$

   減去 $1$ 之後剩下 $x+O(x^2)$，所以指數是

   $v=\frac{1}{x+O(x^{2})}\sim\frac{1}{x}.$

3. 3

   把底展開到足夠的階數。 使用 $e^{x}-1=x+\tfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3})$ 與 $\cos\sqrt{x}=1-\tfrac{x}{2}+O(x^{2})$。兩者的乘積是

   $\left(x+\tfrac{x^{2}}{2}\right)\left(1-\tfrac{x}{2}\right)=x+\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3})=x+O(x^{3}).$

   兩個一階修正項剛好完全抵消——這個抵消正是整道題的關鍵。

4. 4

   寫出底，看它離 1 有多近。

   $u=\frac{x}{x+O(x^{3})}=1+O(x^{2}),\qquad\text{所以}\qquad u-1=O(x^{2}).$

5. 5

   把指數與底合起來。

   $v(u-1)=\frac{1}{x}\cdot O\!\left(x^{2}\right)=O(x)\longrightarrow 0,$

   因此

   $L=e^{0}=1.$

   如果第 3 步裡的 $x^2$ 項沒有抵消，$u-1$ 就會是 $x$ 的階，答案會變成 $e^{\pm 1/2}$——這正是選項 (A) 與 (B) 想引誘你去選的。

6. 6

   用數值確認。 直接計算原式，在 $x=0.1$ 得 $1.004211$，在 $x=0.01$ 得 $1.000417$，在 $x=0.001$ 得 $1.0000417$，在 $x=10^{-4}$ 得 $1.0000042$——以 $x$ 的一次方趨近 $1$，正如 $O(x)$ 的估計所預測。答案是 (D)。