計算 x cos(x + y) 在頂點為 (0, 0)、(π, 0)、(π, π) 的三角形區域上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   把三個頂點轉成邊界方程式。 由 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$ 的邊落在 $y=0$ 上；由 $(\pi,0)$ 到 $(\pi,\pi)$ 的邊是鉛直線 $x=\pi$；由 $(0,0)$ 到 $(\pi,\pi)$ 的邊是直線 $y=x$。所以這個三角形就是滿足 $0\le x\le\pi$ 且 $0\le y\le x$ 的所有點。

2. 2

   選擇積分順序 $dy\,dx$。 先對 $y$ 積，可以讓 $x$ 的上下限保持常數（$0$ 到 $\pi$），而 $y$ 的上下限只是兩個簡單函數 $0$ 與 $x$。另一個好處是內層積分時 $x$ 是常數，所以因子 $x$ 可以直接提出去：

   $\int_0^\pi\!\!\int_0^x x\cos(x+y)\,dy\,dx.$

3. 3

   做內層積分。 固定 $x$ 時 $\int\cos(x+y)\,dy=\sin(x+y)$：

   $x\Big[\sin(x+y)\Big]_{y=0}^{y=x}=x\big(\sin 2x-\sin x\big).$

4. 4

   用分部積分處理 $\int_0^\pi x\sin 2x\,dx$。 取 $u=x$、$dv=\sin 2x\,dx$，則 $du=dx$、$v=-\tfrac{\cos 2x}{2}$：

   $\left[-\frac{x\cos 2x}{2}\right]_0^\pi+\frac12\int_0^\pi\cos 2x\,dx=-\frac{\pi}{2}+\left[\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^\pi=-\frac{\pi}{2}.$

5. 5

   用同樣方式處理 $\int_0^\pi x\sin x\,dx$。 取 $u=x$、$v=-\cos x$：

   $\Big[-x\cos x\Big]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx=\pi+\Big[\sin x\Big]_0^\pi=\pi.$

6. 6

   把兩部分合起來。 外層積分就是兩個結果相減：

   $\iint_R x\cos(x+y)\,dA=-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx -4.712.$

   答案是負的，這也在預期之內：在這個三角形的大部分區域上 $x+y$ 落在 $\tfrac{\pi}{2}$ 與 $\tfrac{3\pi}{2}$ 之間，那裡 $\cos(x+y)$ 為負，而權重 $x$ 恰好在那裡最大。數值積分得 $-4.71239$，與 $-\tfrac{3\pi}{2}$ 相符。