解微分方程式 y″ + 4y = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先試指數型試解。 對常係數線性 ODE，$y=e^{rx}$ 永遠能把方程式變成代數方程式：

   $y=e^{rx}\Rightarrow y''=r^2e^{rx}$

2. 2

   寫出特徵方程式。 代入後，把恆不為零的 $e^{rx}$ 提出來：

   $r^2e^{rx}+4e^{rx}=e^{rx}\left(r^2+4\right)=0\quad\Longrightarrow\quad r^2+4=0$

3. 3

   解出 $r$。

   $r^2=-4\quad\Longrightarrow\quad r=\pm 2i$

   純虛根代表純粹的振盪，既不成長也不衰減。

4. 4

   把複數指數換成實數形式。 對根 $r=\alpha\pm\beta i$，實數通解是 $e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)$。這裡 $\alpha=0$、$\beta=2$，所以指數包絡是 $e^{0}=1$：

   $y(x)=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$

5. 5

   直接代回驗證。 取 $y=\cos 2x$：$y''=-4\cos 2x$，所以 $y''+4y=0$ $\checkmark$。取 $y=\sin 2x$：$y''=-4\sin 2x$，同樣是 $0$ $\checkmark$。因為方程式是線性的，兩者的任意組合也都成立。從物理來看，這就是角頻率 $\omega=2$、週期 $\pi$ 的簡諧運動。