求 sin((x² + y² + z²)^(3/2)) 在錐面 z = √(3(x² + y²)) 與球面 z = √(1 − x² − y²) 之間區域上的三重積分。

Step-by-step solution

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   先辨認出這個立體。 下方曲面 $z=\sqrt{3}\,r$（其中 $r^2=x^2+y^2$）是一個錐面，上方曲面 $z=\sqrt{1-r^2}$ 是上半單位球面。兩者相交於 $\sqrt3\,r=\sqrt{1-r^2}$，也就是 $3r^2=1-r^2$，故 $r=\tfrac12$：這個區域就是經典的「冰淇淋甜筒」，夾在錐面與單位球面之間，投影到圓盤 $r\le\tfrac12$ 上。

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   選球面座標，而不是柱面座標。 被積函數只依賴 $x^2+y^2+z^2 = \rho^2$，所以換到球面座標後它變成 $\sin(\rho^3)$ ——單一變數的函數。柱面座標會留下無法分離的 $\sin\!\left((r^2+z^2)^{3/2}\right)$，這就是為什麼一定要一路換到球面座標。

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   把錐面轉成一個固定的極角。 在錐面上，$\tan\varphi = \dfrac{r}{z} = \dfrac{1}{\sqrt3}$，所以 $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$。於是這個立體是 $0\le\rho\le1,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{6},\qquad 0\le\theta\le2\pi,$ 體積元素為 $dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$。

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   把三重積分拆成三個單一積分。 $I = \int_0^{2\pi}\!d\theta\int_0^{\pi/6}\!\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{1}\rho^2\sin(\rho^3)\,d\rho.$ 現在每個因子都只牽涉一個變數。

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   逐個算出各因子。 $\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi$；$\int_0^{\pi/6}\sin\varphi\,d\varphi = 1-\cos\tfrac{\pi}{6} = 1-\tfrac{\sqrt3}{2}$；再取 $u=\rho^3$、$du=3\rho^2 d\rho$，$\int_0^1\rho^2\sin(\rho^3)\,d\rho = \frac13\int_0^1\sin u\,du = \frac{1-\cos 1}{3}.$ 體積元素帶來的 $\rho^2$ 正是讓這個代換行得通的關鍵。

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   相乘並驗算。 $I = 2\pi\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)\frac{1-\cos 1}{3} \approx 2\pi(0.133975)(0.153233) \approx 0.128989.$ 對原本的柱面形式做巢狀數值積分得 $0.1289892138$，吻合到小數點後九位。