求由 (x² + y² + z²)² ≤ a³z 所定義區域的體積，其中 a > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   把不等式換成球座標。 由 $x^2+y^2+z^2=\rho^2$ 與 $z=\rho\cos\varphi$，定義條件變成

   $\rho^4\le a^3\rho\cos\varphi\;\Longleftrightarrow\;\rho^3\le a^3\cos\varphi\;\Longleftrightarrow\;\rho\le a\left(\cos\varphi\right)^{1/3}$

   之所以能約掉一個 $\rho$，是因為在原點之外 $\rho>0$。右邊要求 $\cos\varphi\ge 0$，所以這個立體整個落在上半空間 $0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{2}$ —— 這在意料之中，畢竟 $a^3z\ge 0$ 迫使 $z\ge 0$。

2. 2

   列出體積積分。 這個立體是繞 $z$ 軸的旋轉體（式子裡沒有出現 $\theta$），所以

   $V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}\!\!\int_0^{a(\cos\varphi)^{1/3}}\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$

   因子 $\rho^2\sin\varphi$ 就是球座標的體積元素；漏掉它正是這個積分最典型的出錯方式。

3. 3

   先對半徑積分 —— 立方根就消失了。 固定 $\varphi$，

   $\int_0^{a(\cos\varphi)^{1/3}}\rho^2\,d\rho=\frac{\left[a\left(\cos\varphi\right)^{1/3}\right]^3}{3}=\frac{a^3\cos\varphi}{3}$

   這正是整題的關鍵：半徑取三次方恰好抵消指數 $\tfrac13$，把一個彆扭的邊界化成單純的餘弦。

4. 4

   再做極角的積分。 剩下的是教科書式的變數代換：

   $\int_0^{\pi/2}\frac{a^3\cos\varphi}{3}\sin\varphi\,d\varphi=\frac{a^3}{3}\left[\frac{\sin^2\varphi}{2}\right]_0^{\pi/2}=\frac{a^3}{3}\cdot\frac12=\frac{a^3}{6}$

5. 5

   乘上角度掃過的範圍，並檢查伸縮性質。 $\theta$ 的積分貢獻 $2\pi$：

   $V=2\pi\cdot\frac{a^3}{6}=\frac{\pi a^3}{3}$

   有兩項檢驗。從量綱看，答案必須隨 $a^3$ 伸縮，結果確實如此 —— 把 $a$ 換成 $ka$，整個立體就線性放大 $k$ 倍。從數值看，取 $a=1$，在盒子 $[-1.2,1.2]^2\times[0,1.2]$ 上用蒙地卡羅抽樣估計滿足 $(\rho^2)^2\le z$ 的同一體積，得到約 $1.045$，對照 $\tfrac{\pi}{3}\approx 1.0472$ $\checkmark$。