求 x^2*y + y*sin(x) 對 x 的偏導數。

Step-by-step solution

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   先確定「對 $x$ 求偏導數」是什麼意思。 $y$ 每一次出現都被凍結成一個數。所以 $y$ 在兩項裡都像個常數係數，任何地方都用不到乘積法則——把它想得太複雜是這裡常見的毛病。

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   把第一項微分。 由於 $y$ 是常數，$x^2y$ 就是 $y$ 乘上 $x^2$：

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2y\right)=y\cdot 2x=2xy$

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   把第二項微分。 同樣地 $y$ 是常數乘數，而 $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$：

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(y\sin x\right)=y\cos x$

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   把結果相加。

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2y+y\sin x\right)=2xy+y\cos x=y\left(2x+\cos x\right)$

   把 $y$ 提出來會讓結構更清楚：整個函數就是 $y$ 乘上一個只含 $x$ 的函數。

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   用差商核對。 取 $x=1$、$y=3$。公式預測 $3(2+\cos 1)=3(2+0.540302)=7.620907$。數值上取 $h=10^{-5}$，

   $\frac{f(1.00001,3)-f(0.99999,3)}{2\times 10^{-5}}=7.620907$

   吻合到小數點後六位。作為對照，$\partial/\partial y$ 會是 $x^2+\sin x$——完全不同的式子，這正是為什麼一定要說清楚是對哪個變數微分。