求 4e^(2x) − sin(2x) 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   用線性性質把積分拆開。 積分對加減可以逐項進行，常數也能提到積分符號前面：

   $\int\left(4e^{2x}-\sin 2x\right)dx=4\int e^{2x}\,dx-\int\sin 2x\,dx$

   現在每一塊都是內層為一次函數 $2x$ 的標準型。

2. 2

   記住內層是一次式時的「反向連鎖律」。 對 $e^{2x}$ 求導會多出一個因子 $2$，所以做積分時就必須除以它：

   $\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C,\qquad \int\sin ax\,dx=-\frac{1}{a}\cos ax+C$

   這一除是最常被漏掉的一步，在本題裡它會讓答案差出整整一倍。

3. 3

   積出指數那一項。

   $4\int e^{2x}dx=4\cdot\frac12 e^{2x}=2e^{2x}$

4. 4

   積出正弦那一項，盯住兩個負號。 公式本身帶一個負號，原式前面又有一個：

   $-\int\sin 2x\,dx=-\left(-\frac12\cos 2x\right)=+\frac12\cos 2x$

   結果是 $+\tfrac12\cos 2x$，而不是 $-\tfrac12\cos 2x$。

5. 5

   合併起來，並補上積分常數。

   $\int\left(4e^{2x}-\sin 2x\right)dx=2e^{2x}+\frac12\cos 2x+C$

6. 6

   求導驗證。 $\frac{d}{dx}\left(2e^{2x}\right)=4e^{2x}$，$\frac{d}{dx}\left(\tfrac12\cos 2x\right)=-\sin 2x$，正好把被積函數原樣復原。數值上取 $x=0.6$，答案的導數是 $12.34843$，被積函數也是 $12.34843$ ✓。