計算 25 x^(3/2) 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把常數提出來。 常數可以原封不動地穿過積分符號：$\int 25x^{3/2}\,dx=25\int x^{3/2}\,dx.$

2. 2

   取 $n=\tfrac32$ 套用冪次法則。 法則 $\displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ 對任何 $n\ne-1$ 都成立，分數指數也不例外。這裡 $n+1=\frac32+1=\frac52.$

3. 3

   除以新的指數。 $25\int x^{3/2}\,dx=25\cdot\frac{x^{5/2}}{\tfrac52}+C.$ 除以 $\tfrac52$ 等同於乘以 $\tfrac25$，學生最常在這一步出錯。

4. 4

   把常數乘開。 $25\cdot\tfrac25=10$，所以反導函數是 $10x^{5/2}+C$。

5. 5

   求導檢驗。 $\dfrac{d}{dx}\left(10x^{5/2}\right)=10\cdot\tfrac52 x^{3/2}=25x^{3/2}$，正是原來的被積函數。