求 x 趨近正無限大時，ln(1 + 2 的 x 次方) 乘以 ln(1 + 2/x) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先辨認不定型。 $x\to+\infty$ 時第一個因式 $\ln(1+2^x)\to+\infty$，第二個因式 $\ln\left(1+\tfrac{2}{x}\right)\to\ln 1=0$。乘積屬於 $\infty\cdot 0$ 型，結果可能是任何值；必須把兩個因式互相比較。

2. 2

   把發散的因式換成它的主導部分。 在對數裡把 $2^x$ 提出來：

   $\ln(1+2^x)=\ln\left[2^x\left(1+2^{-x}\right)\right]=x\ln 2+\ln\left(1+2^{-x}\right)$

   修正項 $\ln(1+2^{-x})\to 0$，所以

   $\frac{\ln(1+2^x)}{x\ln 2}\to 1,\qquad\text{i.e.}\qquad \ln(1+2^x)\sim x\ln 2$

   寫出精確的恆等式而不是含糊帶過，正是這個等價關係之所以嚴謹的原因。

3. 3

   把趨於零的因式換成它的線性近似。 令 $t=\tfrac{2}{x}\to 0$，標準等價 $\ln(1+t)\sim t$ 給出

   $\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\sim\frac{2}{x}$

   這直接來自 $\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$，也就是 $\ln(1+t)$ 在 $t=0$ 處的導數。

4. 4

   把兩個等價關係相乘。 漸近等價在乘法下保持不變，所以

   $\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\sim (x\ln 2)\cdot\frac{2}{x}=2\ln 2$

   $x$ 恰好消掉 —— 對數以線性速度成長，另一個因式以 $1/x$ 衰減，所以乘積停在一個有限常數上。

5. 5

   寫下結論並求值。

   $\boxed{\lim_{x\to+\infty}\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)=2\ln 2=\ln 4\approx 1.3863}$

6. 6

   用數值檢查收斂。 $x=100$ 時乘積是 $1.37261$，$x=1000$ 時是 $1.38491$，$x=10^4$ 時是 $1.386156$ —— 一路爬向 $2\ln 2=1.386294$。逼近很慢（誤差是 $1/x$ 等級），這正是被捨去的項所預測的。