對 (x − 4y) 在矩形 −1 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 2 上的積分：描述區域、計算二重積分，再交換積分順序重算一次。

Step-by-step solution

1. 1

   (a) 辨認區域。 四個上下限都是常數，所以區域是矩形

   $D=\{(x,y):-1\le x\le 1,\ 0\le y\le 2\}$

   四個頂點為 $(-1,0)$、$(1,0)$、$(1,2)$ 與 $(-1,2)$。

2. 2

   (b) 利用 x 區間的對稱性。 區間 $[-1,1]$ 對 $0$ 對稱，而 $x$ 是奇函數，所以

   $\int_{-1}^{1}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1}=\frac12-\frac12=0$

   這在還沒動到 $y$ 之前就把整個 $x$ 項殺掉了。

3. 3

   把剩下那一項對 x 積分。 固定 $y$，

   $\int_{-1}^{1}(-4y)\,dx=-4y\big[x\big]_{-1}^{1}=-4y(2)=-8y$

   所以內層積分是 $0-8y=-8y$。

4. 4

   對 y 積分。

   $\int_{0}^{2}(-8y)\,dy=\left[-4y^{2}\right]_{0}^{2}=-16$

5. 5

   (c) 交換順序並確認。

   $\int_{-1}^{1}\!\!\int_{0}^{2}(x-4y)\,dy\,dx=\int_{-1}^{1}\left[xy-2y^{2}\right]_{0}^{2}dx=\int_{-1}^{1}(2x-8)\,dx=\big[x^{2}-8x\big]_{-1}^{1}=(1-8)-(1+8)=-16$

   $\boxed{-16}$

6. 6

   檢查正負號與大小是否合理。 在這個矩形上 $y$ 最大到 $2$，所以 $-4y$ 會達到 $-8$，而 $x$ 的平均貢獻為零；因此被積函數的平均值是 $-4\bar y=-4$，矩形面積為 $2\times 2=4$，得到 $-4\times 4=-16$ ✓。