計算 (e^y + x) dx + (x e^y − 2y) dy 沿著通過 (0,0)、(0,1) 與 (1,2) 的封閉三角形路徑的線積分。

Step-by-step solution

1. 1

   與其直接參數化，不如用格林定理。 這條路徑是封閉且分段平滑的，若把三段分別參數化，就得處理三個含 $e^y$ 的麻煩積分。格林定理可以把整件事化成在所圍三角形 $D$ 上的單一個二重積分：

   $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

2. 2

   先認出 P 與 Q。

   $P(x,y)=e^{y}+x,\qquad Q(x,y)=xe^{y}-2y$

3. 3

   算出這兩個偏導數。 對 $x$ 微分 $Q$ 時把 $y$ 當常數，所以 $e^y$ 只是一個常數倍數，而 $-2y$ 整項消失：

   $\frac{\partial Q}{\partial x}=e^{y}$

   對 $y$ 微分 $P$ 時，$x$ 那一項消失：

   $\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y}$

4. 4

   相減後積分。

   $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y}-e^{y}=0$

   所以

   $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D 0\,dA=0$

   $\boxed{0}$

5. 5

   說明為什麼三角形長什麼樣子根本不重要。 因為在整個平面（一個單連通區域）上都有 $\partial Q/\partial x=\partial P/\partial y$，這個向量場是保守場：它是下列位勢函數的梯度

   $\varphi(x,y)=xe^{y}+\tfrac{x^2}{2}-y^2$

   因為 $\varphi_x=e^y+x=P$ 而且 $\varphi_y=xe^y-2y=Q$。於是任何封閉迴路走完之後都回到同一個位勢值，積分就是 $0$——題目給的那三個頂點換成任何其他三點都一樣。

6. 6

   直接用位勢函數再驗算一次。 沿著 $(0,0)\to(0,1)\to(1,2)\to(0,0)$ 走，$\varphi$ 的值依序是 $0$、$-1$、$e^2+\tfrac12-4$，最後又回到 $0$。把三段的差相加會逐項相消得到 $0$，與格林定理的結果一致。