求 2^n / n! 從 n = 0 到無窮大的無窮級數和。

Step-by-step solution

1. 1

   先確認級數收斂，再談求和。 用比值審斂法，

   $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^{n}/n!}=\frac{2}{n+1}\longrightarrow 0<1$

   所以這個級數絕對收斂；事實上把 $2$ 換成任何底數也一樣收斂——階乘遲早會贏過幾何式的成長。

2. 2

   把級數對上已知的展開式。 指數函數的馬克勞林級數是

   $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},\qquad \text{對所有實數 }x$

   題目給的級數正是它在 $x=2$ 的情形，所以不需要做任何求和的工作——認出來就好。

3. 3

   直接讀出值。

   $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}\approx 7.389056$

4. 4

   注意起始指標。 若改成從 $n=1$ 開始加，就少了 $n=0$ 那一項 $\tfrac{2^0}{0!}=1$：

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}-1\approx 6.389056$

   這是決定答案的唯一細節，只要下界寫得不夠清楚，就值得明白講出來。

5. 5

   用部分和檢查。 把前面幾項加起來：$1+2+2+1.3333+0.6667+0.2667+0.0889+0.0254=7.3809$，已經與 $e^2=7.389056$ 相差不到 $0.0082$。剩下的尾巴由 $\tfrac{2^8}{8!}=0.00635$ 主導，與觀察到的差距相符 $\checkmark$。