解微分方程式 dy/dx = y。

Step-by-step solution

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   認出這個方程式，並理解它在說什麼。 變化率等於量本身——這正是指數成長的定義性質。它是可分離的，因為右邊只依賴 $y$。也要立刻注意到 $y=0$ 是一個常數解，因為此時兩邊都是 $0$；我們最後得把它找回來。

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   分離變數。 暫時假設 $y\neq0$，除以 $y$ 再乘上 $dx$：

   $\frac{1}{y}\,dy=dx$

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   兩邊積分。

   $\int\frac{1}{y}\,dy=\int1\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad \ln|y|=x+C$

   絕對值是必要的，因為負數的 $\ln$ 沒有定義——而它也正是讓取負值的解得以存活的原因。

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   取指數把 y 解放出來。

   $|y|=e^{x+C}=e^{C}e^{x}$

   這裡 $e^C$ 是一個任意的正常數。

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   把正負號吸收進常數。 拿掉絕對值會引入一個 $\pm$：$y=\pm e^{C}e^{x}$。由於 $\pm e^{C}$ 跑遍所有非零實數，就把它重新命名為 $C$：

   $y=Ce^{x}$

   現在允許 $C=0$，也就同時還原了步驟 2 所排除掉的常數解 $y=0$，所以這單一個公式就是完整的通解。

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   用微分驗證。 若 $y=Ce^x$，則 $\dfrac{dy}{dx}=Ce^x=y$ ✓——方程式對每一個 $C$ 都成立。數值上取 $C=1.7$，在 $x=-1,\,0.3,\,2.2$ 處，對稱差商與 $y$ 本身吻合到七位數字 ✓。