判斷 n 從 1 到無限大的 n/3 的 n 次方級數是收斂還是發散，並求出它的和。

Step-by-step solution

1. 1

   挑一個貼合項的形狀的審斂法。 一般項 $a_n = n/3^n$ 把多項式因子與指數因子混在一起。這種項的比值化簡得非常漂亮，因為 $3^{n+1}/3^n$ 會塌成一個常數，所以比值審斂法是自然的選擇 —— 比較審斂法也行，但需要巧妙地挑一個比較級數。

2. 2

   造出相鄰兩項的比值。 由 $a_n = \dfrac{n}{3^n}$、$a_{n+1} = \dfrac{n+1}{3^{n+1}}$：

   $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{3}$

   所有項都是正的，所以取絕對值不影響任何結果。

3. 3

   取極限並套用審斂法。 因為 $\dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n} \to 1$，

   $L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{3}$

   由於 $L = \tfrac13 < 1$，比值審斂法保證這個級數絕對收斂。注意多項式因子 $n$ 對這個極限毫無影響 —— 指數衰減永遠勝過多項式成長。

4. 4

   用等差乘等比的求和公式得到精確的和。 光是收斂並不給出數值，但這個級數是標準的。把幾何級數 $\sum_{n\ge0} r^n = \dfrac{1}{1-r}$ 微分後再乘上 $r$，對 $|r|<1$ 得到

   $\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} = \frac{r}{(1-r)^2}$

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   代入 $r = 1/3$。 把 $\dfrac{n}{3^n}$ 寫成 $n\left(\dfrac13\right)^{n}$：

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n} = \frac{\tfrac13}{\left(1-\tfrac13\right)^2} = \frac{\tfrac13}{\tfrac49} = \frac13\cdot\frac94 = \frac34$

6. 6

   用數值檢查。 把前幾項加起來得 $0.3333 + 0.2222 + 0.1111 + 0.0494 + 0.0206 + \cdots$，部分和爬到 $0.75000$ 之後就停在那裡 —— 與精確值 $3/4$ 一致。