求 x 在立體區域 0 ≤ z ≤ 3 且 x² + y² ≤ z 上的三重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   描述這個立體。 不等式 $x^2 + y^2 \le z$ 表示點落在拋物面 $z = x^2 + y^2$ 的內部，而這個拋物面自原點向上張開。用 $z = 3$ 把它截斷，就得到一個碗狀立體，它在高度 $z$ 處的截面是半徑 $\sqrt{z}$ 的圓盤 $x^2 + y^2 \le z$。

2. 2

   檢查區域對 x 的對稱性。 把 $x$ 換成 $-x$，兩個定義條件都不變，因為式子裡只出現 $x^2$：

   $(-x)^2 + y^2 = x^2 + y^2 \le z$

   所以 $(x, y, z) \in E \iff (-x, y, z) \in E$：這個立體對平面 $x = 0$ 對稱。這一步檢查不可省——區域若不對稱，這條捷徑就失效了。

3. 3

   檢查被積函數對 x 的奇偶性。 被積函數是 $f(x,y,z) = x$，而

   $f(-x, y, z) = -x = -f(x,y,z)$

   所以它對 $x$ 是奇函數。奇的被積函數在該變數方向對稱的區域上積分為零，因為每個點都會與一個帶相反值的鏡像點配成一對。

4. 4

   不必計算就能下結論。

   $\iiint_E x\,dV = 0$

   來自 $x > 0$ 那一半的正貢獻，恰好抵銷 $x < 0$ 那一半的負貢獻。

5. 5

   還是把柱面座標的積分列出來確認。 取 $x = r\cos\theta$ 與 $dV = r\,dz\,dr\,d\theta$：

   $\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{3}}\!\!\int_{r^2}^{3} r^2\cos\theta\,dz\,dr\,d\theta$

   $\theta$ 的積分可以提出來，$\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0$，所以不論徑向與垂直方向的部分是多少，整個乘積都是零。同樣的答案，現在用代數確認過了。（依同樣的論證，$\iiint_E y\,dV = 0$ 且 $\iiint_E xyz\,dV = 0$，而 $\iiint_E z\,dV$ 則確實不為零。）