對 y = 8x⁶ − 3x⁻⁴ + 4/x − 9 微分。

Step-by-step solution

1. 1

   把每一項都改寫成 $x$ 的冪次。 冪次法則只適用於 $cx^n$ 的形式，所以要把分數轉換掉：

   $\frac4x=4x^{-1}$

   式子變成 $y=8x^6-3x^{-4}+4x^{-1}-9$。常數 $-9$ 就是 $-9x^0$，微分後會變成零。

2. 2

   微分正指數的那一項。 由 $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$，

   $\frac{d}{dx}\left(8x^6\right)=8\cdot 6x^5=48x^5$

3. 3

   微分 $-3x^{-4}$ 這一項 —— 兩個負號在這裡碰頭。

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{-4}\right)=-3\cdot(-4)x^{-5}=+12x^{-5}$

   指數還是減少：$-4-1=-5$，不是 $-3$。而因為係數 $-3$ 乘上負指數 $-4$，得到的這一項是正的。

4. 4

   微分 $4x^{-1}$ 與常數。

   $\frac{d}{dx}\left(4x^{-1}\right)=4\cdot(-1)x^{-2}=-4x^{-2},\qquad \frac{d}{dx}(-9)=0$

5. 5

   合併，並用正指數寫出來。

   $\frac{dy}{dx}=48x^5+12x^{-5}-4x^{-2}=48x^5+\frac{12}{x^5}-\frac{4}{x^2}$

6. 6

   在 $x=1$ 抽樣做數值檢查。 公式給出 $48+12-4=56$。對原函數取 $h=10^{-4}$ 的中央差分也得到 $56.00$，係數與正負號都得到確認。注意導數在 $x=0$ 處沒有定義，和原函數一樣。