解微分方程式 d/dx(dy/dx) = e^y，也就是 y 的二階導數等於 e^y。

Step-by-step solution

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   認出這是自治方程式。 自變數 $x$ 沒有顯式出現——出現的只有 $y$ 與它的導數。對這類方程式，標準的做法是把 $y$（而不是 $x$）當成自變數，這會把階數從二降到一。

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   代入 $v=y'$，並對 $y$ 使用連鎖律。 把 $v$ 寫成 $y$ 的函數，

   $y''=\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=v\frac{dv}{dy}.$

   方程式就變成一階可分離變數的方程式

   $v\frac{dv}{dy}=e^{y}.$

   這個 $v\,\frac{dv}{dy}$ 的恆等式就是整個技術的核心；少了它，代換 $v=y'$ 只會留下一個含三個變數的方程式。

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   分離變數並積分，得到首次積分。 由 $v\,dv=e^{y}\,dy$：

   $\frac{v^{2}}{2}=e^{y}+C\;\Longrightarrow\;\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=2e^{y}+C_{1}.$

   這是一個守恆量——力學上的類比，就是質點在位能 $-e^{y}$ 中的能量守恆。取平方根，

   $\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt{2e^{y}+C_{1}}.$

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   再分離一次變數。 剩下的方程式對 $y$ 與 $x$ 是可分離的：

   $\int\frac{dy}{\sqrt{2e^{y}+C_{1}}}=\pm x+C_{2}.$

   當 $C_{1}=k>0$ 時，代換 $u=e^{y}$ 把左邊變成 $\int\frac{du}{u\sqrt{2u+k}}$，這是一個標準形，積出來是

   $\frac{1}{\sqrt{k}}\ln\left|\frac{\sqrt{2e^{y}+k}-\sqrt{k}}{\sqrt{2e^{y}+k}+\sqrt{k}}\right|=\pm x+C_{2}.$

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   反解出明確的解。 把那個含對數的關係式對 $y$ 解開，代數就塌縮成一個雙曲正弦：

   $y=\ln\!\frac{C_{1}}{2}-2\ln\left|\sinh\!\left(\frac{\sqrt{C_{1}}\,(x-x_{0})}{2}\right)\right|,\qquad C_{1}>0,$

   其中 $x_{0}$ 吸收了 $C_{2}$。退化的情形 $C_{1}=0$ 比較簡單，值得單獨列出：

   $y=-2\ln\left|c-\frac{x}{\sqrt2}\right|.$

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   把兩種形式都做數值驗證。 取 $C_{1}=1.5$、$x_{0}=0.3$：在 $x=1.4$ 處用二階差分估計 $y''$ 得到 $1.42404$，對照 $e^{y}=1.42404$ ✓；在 $x=2.2$ 處得到 $0.35950$，對照 $0.35950$ ✓。至於 $C_{1}=0$ 這一支，取 $c=3$：在 $x=1$ 處 $y''=0.190210$ 而 $e^{y}=0.190210$ ✓。兩個解都會在對數的引數消失之處爆掉，這是真實的現象——解會在有限的 $x$ 之內衝到無窮大。