求 ln(n)/n² 在 n 趨近無窮大時的極限。

Step-by-step solution

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   辨認不定型。 當 $n\to\infty$ 時 $\ln n\to\infty$ 且 $n^{2}\to\infty$，所以這個商是 $\infty/\infty$ 型。這個形式沒有自動的值——答案取決於哪一邊長得比較快，所以我們需要的是比較的工具，而不是直接代入。

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   用一次羅必達法則。 把 $n$ 當成連續變數，分子分母各自微分：

   $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n^{2}}=0$

   用一次就夠了，因為對 $\ln n$ 微分會把對數整個消掉，而分母依然是一個冪次。

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   檢查成長順序是否合理。 這個結果只是一個一般事實的特例：對每個 $p>0$，$\ln n$ 都比 $n^{p}$ 長得慢，所以 $\ln n/n^{p}\to0$ 恆成立。數值上 $\ln(10^{6})/(10^{6})^{2}\approx1.4\times10^{-11}$——已經基本上是零了 ✓。

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   找出最大值的位置，以免把這種衰減誤認成單調遞減。 令 $f(n)=\ln n\cdot n^{-2}$，由乘積律得

   $f'(n)=\frac{1}{n}\cdot n^{-2}+\ln n\cdot(-2)n^{-3}=\frac{1-2\ln n}{n^{3}}$

   它在 $\ln n=\tfrac12$ 時為零，也就是 $n=\sqrt{e}\approx1.6487$。所以 $f$ 先上升到 $n\approx1.65$，之後才衰減到 $0$。在 $n=2,5,9$ 處用數值微分與這個公式比對，吻合到 $10^{-6}$ ✓。

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   注意這個極限對級數說了什麼——以及沒說什麼。 各項趨近 $0$ 是收斂的必要條件，但不是充分條件。這裡收斂確實成立，可以用比較法看出：當 $n$ 夠大時 $\ln n<n^{1/2}$，所以 $\dfrac{\ln n}{n^{2}}<\dfrac{1}{n^{3/2}}$，而 $\sum n^{-3/2}$ 是 $p=3/2>1$ 的收斂 $p$ 級數。

   這個和的值是 $-\zeta'(2)\approx0.93755$；把前兩百萬項加起來得到 $0.9375405$ ✓。