求 ln((1+x)/(1-x)) 的冪級數近似。

Step-by-step solution

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   先把商的對數拆開。 與其去展開整個商，不如用 $\ln(A/B)=\ln A-\ln B$：$\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\ln(1+x)-\ln(1-x).$ 這一步讓整個問題變得容易，因為這兩塊都有標準的馬克勞林級數。

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   寫下這兩個標準級數。 當 $|x|<1$ 時，$\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n},$ 而把 $x$ 換成 $-x$，$\ln(1-x)=-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-\cdots=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.$

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   相減，看著偶次冪抵消。 逐項來看，$x^{2}$ 的貢獻分別是 $-\tfrac12 x^{2}$ 與 $-\tfrac12 x^{2}$，相減時互相抵消；$x^{3}$ 的貢獻分別是 $+\tfrac13 x^{3}$ 與 $-\tfrac13 x^{3}$，相減時彼此加強。一般而言只有奇次冪能存活，而且每一項都加倍：$\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots\right)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.$ 只剩奇次冪，正是這個函數的對稱性所要求的：把 $x$ 換成 $-x$ 會讓引數取倒數，並讓對數變號，所以這個函數是奇函數。

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   記下實用的截斷式。 把級數截掉就得到實用的近似式 $\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\approx 2x,\qquad \approx 2x+\frac{2x^{3}}{3},\qquad \approx 2x+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}.$ 第一個就是在 $x=0$ 處的線性（切線）近似。

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   說明成立的區間並做測試。 兩個母級數都需要 $|x|<1$，而那個商本身也只在那裡為正，所以這個展開在 $|x|<1$ 時成立。在 $x=0.2$ 處做數值檢查：精確值是 $\ln(1.2/0.8)=\ln 1.5=0.405465108$，而 $2x+\tfrac23 x^{3}+\tfrac25 x^{5}=0.4+0.005333333+0.000128=0.405461333$——吻合到小數點後五位，兩者之間的小落差正好由下一項 $\tfrac27 x^{7}=3.66\times10^{-6}$ 解釋。

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   說明為什麼算對數時偏好這個形式。 任何正數 $r$ 都可以寫成 $(1+x)/(1-x)$，其中 $x=(r-1)/(r+1)$，而即使 $r$ 離 $1$ 很遠，這個 $x$ 仍然很小。由於這個級數只含奇次項，收斂速度是單純 $\ln(1+x)$ 級數的兩倍，所以這個恆等式是古典上用手算取得高精度對數的辦法。