計算 (x/8)(x² + xy) 在區域 0 ≤ x ≤ 2、0 ≤ y ≤ 2 上的二重積分。

Step-by-step solution

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   其他事都先放一邊，先把被積函數展開。 像 $\frac{x}{8}(x^2 + xy)$ 這樣的乘積，一旦化成單項式之和就好積多了：

   $\frac{x}{8}(x^2 + xy) = \frac{x^3}{8} + \frac{x^2 y}{8}$

   現在每一項都是 $x$ 的簡單冪次乘上 $y$ 的簡單冪次，兩次積分都成了基本運算。

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   把 x 視為常數，先對 y 積分。 因子 $x^3/8$ 對 $y$ 而言是常數，而 $x^2y/8$ 要用 $y$ 的冪次法則：

   $\int_0^2 \left(\frac{x^3}{8} + \frac{x^2 y}{8}\right) dy = \left[\frac{x^3 y}{8} + \frac{x^2 y^2}{16}\right]_0^2$

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   代入 y 的上下限。 在 $y = 2$ 處（$y = 0$ 那一端貢獻為零）：

   $\frac{2x^3}{8} + \frac{4x^2}{16} = \frac{x^3}{4} + \frac{x^2}{4}$

   注意 $y^2$ 那一項給出的是 $4$ 而不是 $2$——把上限平方這一步，正是算術錯誤最常溜進來的地方。

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   再把結果對 x 積分。 把公因子 $\tfrac14$ 提到積分號外：

   $\frac{1}{4}\int_0^2 (x^3 + x^2)\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{1}{4}\left(4 + \frac{8}{3}\right)$

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   把算術做完，順便檢查量級是否合理。

   $\frac{1}{4} \cdot \frac{20}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$

   在這個正方形上做數值積分，前八位數字完全吻合。再做一次合理性檢查：在面積為 $4$ 的區域上，被積函數的值介於 $0$ 與 $\frac{2}{8}(4 + 4) = 2$ 之間，所以 $\tfrac53$ 這個結果穩穩落在可能範圍內。（$1/8$ 正是讓 $\frac{x}{8}(x+y)$ 成為這個正方形上機率密度的那個常數——這裡的被積函數就是該密度再乘上 $x$。）