計算 theta 從 0 到 2 pi、r 從 0 到 a(1 - cos theta) 的二重積分，被積函數是 r 的三次方乘上 cos 平方 theta。

Step-by-step solution

1. 1

   辨認積分區域。 $r$ 的上限 $r=a(1-\cos\theta)$ 描出一條心臟線，尖點落在原點、朝正 $x$ 軸方向，當 $\theta$ 從 $0$ 跑到 $2\pi$ 時剛好掃過一圈。

2. 2

   先對 r 積分，把 cos^2(theta) 當成常數。 $\int_0^{a(1-\cos\theta)} r^3\,dr = \frac{\left(a(1-\cos\theta)\right)^4}{4} = \frac{a^4}{4}(1-\cos\theta)^4,$ 於是問題化簡成 $\frac{a^4}{4}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,(1-\cos\theta)^4\,d\theta.$

3. 3

   用二項式展開四次方。 $(1-\cos\theta)^4 = 1-4\cos\theta+6\cos^2\theta-4\cos^3\theta+\cos^4\theta$，再乘上 $\cos^2\theta$： $\cos^2\theta-4\cos^3\theta+6\cos^4\theta-4\cos^5\theta+\cos^6\theta.$

4. 4

   捨去奇數次冪。 在一個完整週期上，$\int_0^{2\pi}\cos^{2k+1}\theta\,d\theta = 0$，所以 $\cos^3$ 與 $\cos^5$ 這兩項毫無貢獻。這是最省力的一步。

5. 5

   把偶數次冪換成 Wallis 值。 $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$、$\int_0^{2\pi}\cos^4 = 2\pi\cdot\tfrac38 = \tfrac{3\pi}{4}$、$\int_0^{2\pi}\cos^6 = 2\pi\cdot\tfrac{5}{16} = \tfrac{5\pi}{8}$。連同各自的係數相加： $\pi+6\cdot\frac{3\pi}{4}+\frac{5\pi}{8} = \frac{8\pi+36\pi+5\pi}{8} = \frac{49\pi}{8}.$

6. 6

   乘上前面的因子。 $\frac{a^4}{4}\cdot\frac{49\pi}{8} = \frac{49\pi a^4}{32}.$

7. 7

   做數值驗證。 取 $a=1.3$，對 $\tfrac{a^4}{4}(1-\cos\theta)^4\cos^2\theta$ 在 $[0,2\pi]$ 上做數值求積得到 $13.7394511287$，而 $\tfrac{49\pi(1.3)^4}{32} = 13.7394511287$——吻合到小數點後十位。