計算 (sin 3x + x)/(x + sin 5x) 在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   辨認形式。 $\sin 3x+x$ 與 $x+\sin 5x$ 在 $x=0$ 時都變成零，所以這是 $\frac{0}{0}$。

2. 2

   回想那個關鍵極限。 對任意常數 $k$ 都有 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$，它由 $\frac{\sin kx}{x}=k\cdot\frac{\sin kx}{kx}$ 配合 $\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$ 得到。

3. 3

   分子分母同除以 $x$。 對 $x\neq 0$，這個商等於 $\frac{\frac{\sin 3x}{x}+1}{1+\frac{\sin 5x}{x}}$。同除以 $x$ 是標準做法，因為它把每一項都轉成那個已知的極限。

4. 4

   逐項取極限。 分子趨近 $3+1=4$，分母趨近 $1+5=6$；兩個極限都存在，而且分母的極限不為零，所以極限的商法則適用。

5. 5

   算出比值。 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。

6. 6

   用數值驗證。 在 $x=10^{-6}$ 時原式算出 $0.66666667$，與 $\frac{2}{3}$ 相符。