求中心在原點、貫軸沿 x 軸的雙曲線族所滿足的微分方程。

Step-by-step solution

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   先數任意常數的個數，就能預測方程的階數。 這一族曲線帶有兩個獨立參數 $a$ 與 $b$。要消去 $n$ 個常數就得微分 $n$ 次，所以答案會是二階微分方程。事先知道這一點，就知道該在什麼時候停止微分。

2. 2

   先對 $x$ 微分一次。 把 $y$ 看成 $x$ 的函數，對 $y^2$ 用連鎖律：

   $\frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{a^2}=\frac{y\,y'}{b^2}$

   原式右邊的常數 $1$ 已經消失了——現在我們手上有一條連結 $a^2$ 與 $b^2$ 的關係式。

3. 3

   再微分第二次。 對 $\dfrac{x}{a^2}=\dfrac{y\,y'}{b^2}$ 微分，並對 $y\,y'$ 用乘積律：

   $\frac{1}{a^2}=\frac{(y')^2+y\,y''}{b^2}$

4. 4

   兩式相除，一次消掉兩個常數。 兩條方程式都長成（某個東西）$/a^2$ =（某個東西）$/b^2$ 的形式，所以第一式除以第二式時，比值 $b^2/a^2$ 會被約掉：

   $\frac{x/a^2}{1/a^2}=\frac{y\,y'/b^2}{\left((y')^2+y\,y''\right)/b^2}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y\,y'}{(y')^2+y\,y''}$

   這就是這個方法最省力的地方：一次相除同時消掉 $a$ 與 $b$，不必分別把它們解出來。

5. 5

   去分母，得到微分方程。

   $x\left[\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y\,\frac{d^2y}{dx^2}\right]=y\,\frac{dy}{dx}$

   或者把所有項移到同一邊寫成

   $x\,y\,y''+x\,(y')^2-y\,y'=0$

   式子裡不再出現 $a$ 或 $b$，所以它對這一族的每一條曲線都成立——而這正是「這一族曲線的微分方程」的意思。

6. 6

   用一條具體的曲線驗證。 取 $a=2$、$b=3$，即 $y=3\sqrt{x^2/4-1}$，並在 $x=3$ 求值：此時 $y=3.354102$、$y'=2.012461$、$y''=-0.536656$。則

   $x\left[(y')^2+y\,y''\right]=3\left[4.050+(-1.800)\right]=6.750,\qquad y\,y'=3.354102\times 2.012461=6.750$

   兩邊相符；換不同的 $a,b$ 再驗一次也同樣相符——這確認了常數真的被消掉了。