計算 b 從 0 到 π/2 的定積分，被積函數為 1 + tan²(0.661) sin²(b) 的平方根。

Step-by-step solution

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   先認出被積函數的形狀。 第二類完全橢圓積分為

   $E(k)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\;d\theta$

   我們的被積函數裡是加號，所以它對應到 $k^2=-\tan^2(0.661)$ 的情形——參數為負，等價於模數為純虛數的 $k=i\tan(0.661)$。

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   這個常數只算一次，但要算準。 後面每一步都靠這個數字：

   $\tan(0.661)=0.7777085,\qquad \tan^2(0.661)=0.6048305$

   （角度 $0.661$ 的單位是弧度。在這裡用角度制，是得到錯誤答案最常見的途徑。）

3. 3

   把數字代回去，重寫這個積分。

   $I=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+0.6048305\,\sin^2 b}\;db=E\!\left(-0.6048305\right)$

   其中 $E$ 採用參數 $m=k^2$ 的寫法。

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   動手計算之前，先把答案夾出來。 由於 $0\le\sin^2 b\le 1$，被積函數介於 $1$ 與 $\sqrt{1.6048305}=1.2668$ 之間。乘上區間長度 $\pi/2=1.5708$ 得到

   $1.5708\le I\le 1.9899$

   任何落在這個範圍之外的數值結果都是錯的。

5. 5

   用數值方法求值。 在 $[0,\pi/2]$ 上用細網格的複合辛普森法則，收斂到

   $I\approx 1.7865275$

   這個值穩穩落在夾擠範圍 $[1.5708,1.9899]$ 之內，而且略高於中點——這在意料之中，因為 $\sin^2 b$ 在區間上停留在接近 $1$ 的時間，比線性加權所暗示的還要多。