求 (−1)^n / n 在 n 趨近無窮大時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   把有界的部分與趨零的部分分開。 分子 $(-1)^{n}$ 根本沒有極限——它永遠在 $-1,1,-1,1,\dots$ 之間交替。分母 $n$ 則無限增大。有界量除以一個趨向無窮大的量必定趨近零，用文字講完的論證就是這樣。

2. 2

   取絕對值，讓論證精確起來。 由於對每個 $n$ 都有 $\left|(-1)^{n}\right|=1$，

   $\left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right|=\frac{1}{n}$

   一旦改成量大小而不是看正負，震盪就完全消失了。

3. 3

   把數列夾住。 對所有 $n\ge 1$，

   $-\frac{1}{n}\le\frac{(-1)^{n}}{n}\le\frac{1}{n}$

   而外側兩個界都趨近 $0$，所以被夾住的數列也一樣。

4. 4

   寫出極限。

   $\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}=0$

   這個數列雖然從來不肯待在 $0$ 的同一側，卻仍然收斂：收斂只要求各項趨近某個值，並不要求從固定的方向趨近。

5. 5

   跟單獨的 $(-1)^{n}$ 對照。 少了 $\tfrac1n$ 這個因子，數列就沒有極限，因為它的各項永遠相距 $2$。正是那個趨零的因子救回了收斂性——這也是為什麼交錯調和級數 $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ 依交錯級數審斂法會收斂。