求 z² 在球面 z = √(1 − x² − y²) 與錐面 z = √(x² + y²) 所圍區域上的三重積分。

Step-by-step solution

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   辨認出這個立體。 把球面方程式平方得 $x^2+y^2+z^2=1$ 且 $z\ge 0$：也就是上半單位球。錐面在柱面座標下是 $z=r$。這個區域就是半球內部、錐面上方的冰淇淋甜筒狀立體。

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   找出兩個曲面相交的地方。 令 $r=\sqrt{1-r^2}$ 得 $2r^2=1$，所以 $r=\tfrac{1}{\sqrt2}$、$z=\tfrac{1}{\sqrt2}$。這就定出了徑向的範圍。

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   在柱面座標下列式。 取 $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$，$\iiint_\Omega z^2\,dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{1/\sqrt2}\!\!\int_r^{\sqrt{1-r^2}}z^2r\,dz\,dr\,d\theta.$ 這裡柱面座標勝過球面座標，因為錐面與球面剛好給出乾淨的 $z$ 上下限。

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   對 $z$ 積分並消掉 $\theta$。 $\int_r^{\sqrt{1-r^2}}z^2r\,dz=\frac{r}{3}\Bigl[(1-r^2)^{3/2}-r^3\Bigr],$ 而被積函數不依賴 $\theta$，所以 $\theta$ 的積分只貢獻一個因子 $2\pi$。

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   做這兩個徑向積分。 取 $u=1-r^2$，$\int_0^{1/\sqrt2}r(1-r^2)^{3/2}\,dr=\frac12\int_{1/2}^{1}u^{3/2}\,du=\frac15\left(1-\frac{1}{4\sqrt2}\right),$ 以及 $\int_0^{1/\sqrt2}r^4\,dr=\frac15\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^{5}=\frac{1}{20\sqrt2}.$

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   合併起來。 中括號裡是 $\tfrac15-\tfrac{1}{20\sqrt2}-\tfrac{1}{20\sqrt2}=\tfrac15-\tfrac{1}{10\sqrt2}$，所以 $\iiint_\Omega z^2\,dV=\frac{2\pi}{3}\left(\frac15-\frac{1}{10\sqrt2}\right)=\frac{\pi}{15}\left(2-\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac{\pi(4-\sqrt2)}{30}.$ 數值上是 $0.270783$，與對原積分做直接數值積分的結果相符。