求 1 dz dy dx 的三重積分，其中 z 從 0.9621 − √(0.9649² − (x − 0.4167)²) 到 0.9621 + √(0.9649² − (x − 0.4167)²)、y 從 1.7476 − √(1.7476² − x²) 到 0.6773、x 從 0.34356 到 1.3815。

Step-by-step solution

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   把這個積分讀成體積。 被積函數是常數 $1$，所以三重積分的值就是三組上下限所描述的區域之體積。這樣改述很有用，因為它告訴你答案必然是正的，也給出一個粗略的大小可供稍後對照。

2. 2

   利用上下限的對稱性完成 $z$ 的積分。 兩個上下限都與中心 $z=0.9621$ 相距 $R(x)=\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}$，所以這塊板的高度就是那個半徑的兩倍：

   $\int_{0.9621-R(x)}^{0.9621+R(x)}1\,dz=2R(x)=2\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}$

   中心 $0.9621$ 相消之後就再也不出現了——只有半寬有影響。

3. 3

   做 $y$ 的積分，它就是一段長度。 剩下的被積函數裡沒有 $y$，所以對 $y$ 積分就是乘上 $y$ 區間的長度：

   $L(x)=0.6773-\left(1.7476-\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}\right)=\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}-1.0703$

   檢查 $L(x)>0$ 在整個 $x$ 範圍內都成立：$L(x)>0$ 要求 $x^{2}<1.7476^{2}-1.0703^{2}=1.90856$，也就是 $x<1.38151$，而 $x$ 的上限是 $1.3815$。這個區域一直到邊緣都不退化。

4. 4

   化成一個對 $x$ 的積分。 把兩個結果合起來，

   $V=\int_{0.34356}^{1.3815}2\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}\left(\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}-1.0703\right)dx$

   兩個不同根號的乘積沒有初等反導函數，所以最後這一步只能用數值方法。

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   做數值積分，並確認這個值是穩定的。 對這個被積函數用中點法：分成 $10^{5}$ 個小區間得 $0.73418869$，$10^{6}$ 個得 $0.73418869$，$10^{7}$ 個也得 $0.73418869$；另外獨立用辛普森法計算，結果吻合到八位數。所以

   $V\approx 0.7342$

   三次加密與兩種不同方法都一致，這才使這個值可信——單跑一次粗略計算是不夠的。