求函數 a/(4b(x + b)) 乘上 exp(−4b/(x + 2b)) 在 x = 0 的泰勒展開式，展開到 x⁴ 項。

Step-by-step solution

1. 1

   先把參數縮放掉。 令 $t=x/b$，則 $x+b=b(1+t)$、$x+2b=b(2+t)$，指數裡的 $b$ 完全約掉：

   $f=\frac{a}{4b^2}\cdot\underbrace{\frac{1}{1+t}\exp\!\left(-\frac{4}{2+t}\right)}_{g(t)}$

   現在只剩下一個不含參數的級數 $g(t)$ 要展開——這正是讓代數運算不致失控的關鍵。

2. 2

   把指數部分展成等比級數。 寫成 $-\frac{4}{2+t}=-\frac{2}{1+t/2}$，再用 $\frac{1}{1+u}=1-u+u^2-\cdots$ 並取 $u=t/2$：

   $-\frac{4}{2+t}=-2+t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{4}-\frac{t^4}{8}+\cdots$

   領頭的 $-2$ 會提出成常數 $e^{-2}$，這就是為什麼最終答案的每個係數裡都帶著 $e^{-2}$。

3. 3

   把剩下的部分取指數。 令 $h(t)=t-\tfrac{t^2}{2}+\tfrac{t^3}{4}-\tfrac{t^4}{8}$，用 $e^{h}=1+h+\tfrac{h^2}{2}+\tfrac{h^3}{6}+\tfrac{h^4}{24}$ 並按次方整理：

   $\exp\!\left(-\frac{4}{2+t}\right)=e^{-2}\left(1+t+0\cdot t^2-\frac{t^3}{12}+\frac{t^4}{24}+\cdots\right)$

   $t^2$ 的係數剛好抵銷：$-\tfrac12+\tfrac12=0$。

4. 4

   乘上等比因子 $1/(1+t)$。 由 $\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+t^4-\cdots$，柯西乘積給出的係數依序是 $1$、$1-1=0$、$1-1+0=0$、$-1+1+0-\tfrac1{12}=-\tfrac1{12}$，以及 $1-1+0+\tfrac1{12}+\tfrac1{24}=\tfrac18$：

   $g(t)=e^{-2}\left(1-\frac{t^3}{12}+\frac{t^4}{8}+\cdots\right)$

   $t$ 與 $t^2$ 的項都消失了——這個函數在原點附近平坦得不尋常。

5. 5

   代回 $t=x/b$。

   $f(x)=\frac{a\,e^{-2}}{4b^2}\left[1-\frac{x^3}{12b^3}+\frac{x^4}{8b^4}+\cdots\right]=\frac{a e^{-2}}{4b^2}-\frac{a e^{-2}}{48b^5}x^3+\frac{a e^{-2}}{32b^6}x^4+O(x^5)$

6. 6

   用數值驗證係數。 在 $t\in[-0.3,0.3]$ 上對 $g(t)$ 做八次多項式的最小平方擬合，除以 $e^{-2}$ 後得到係數 $1.0000$、$3\times10^{-7}$、$-1\times10^{-6}$、$-0.08338$、$0.12509$ ——與 $1,0,0,-\tfrac1{12}=-0.08333,\tfrac18=0.125$ 相符 ✓。另外 $g(0)=e^{-2}=0.135335$ ✓。