求 f(x) = x²/2 + cos 5x 的導數。

Step-by-step solution

1. 1

   把和式拆開。 微分具有線性，所以可以分開處理 $\dfrac{x^2}{2}$ 與 $\cos 5x$，再把結果相加。

2. 2

   微分二次項。 $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)=\dfrac{2x}{2}=x$。

3. 3

   用連鎖律微分餘弦。 內層函數是 $u=5x$，其導數為 $5$。因為 $\dfrac{d}{du}\cos u=-\sin u$，$\frac{d}{dx}\cos 5x=-\sin(5x)\cdot 5=-5\sin 5x.$ 漏掉內層因子 $5$ —— 或是把負號弄丟 —— 是這裡常見的錯。

4. 4

   把兩塊合併。 $f'(x)=x-5\sin 5x.$

5. 5

   數值驗算。 在 $x=0.7$ 處公式給出 $0.7-5\sin 3.5=0.7-5(-0.3507832)=2.453916$，而 $f$ 在 $x=0.7$ 的中央差商也吻合到小數點後六位。