解微分方程式 dy/dx + 2y = e^(3x)。

Step-by-step solution

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   確認它是標準的一階線性形式。 對照 $y'+P(x)y=Q(x)$ 可以讀出

   $P(x)=2,\qquad Q(x)=e^{3x}$

   與這題的 $e^{-x}$ 版本相比只有 $Q$ 不同，所以整套機制完全一樣，改變的只有最後那個積分。

2. 2

   只用 $P$ 就能算出積分因子。 由於 $\mu$ 只依賴 $P$，外力項 $e^{3x}$ 在這裡完全插不上話：

   $\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}$

3. 3

   兩邊同乘，讓左邊變成單一個導數。

   $e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y=e^{2x}e^{3x}=e^{5x}$

   $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right)=e^{5x}$

   注意指數是相加的：這就是為什麼右邊是 $e^{5x}$ 而不是 $e^{3x}$。

4. 4

   用 $\int e^{kx}dx=e^{kx}/k$ 積分。 這裡 $k=5$，所以最終答案裡那個 $1/5$ 就是在這一步誕生的：

   $e^{2x}y=\frac{1}{5}e^{5x}+C$

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   除以 $e^{2x}$ 並化簡指數。

   $y=\frac{1}{5}e^{5x-2x}+Ce^{-2x}=\frac{1}{5}e^{3x}+Ce^{-2x}$

6. 6

   用直接代入檢查。 由 $y=\tfrac15 e^{3x}+Ce^{-2x}$ 得 $y'=\tfrac35 e^{3x}-2Ce^{-2x}$，所以

   $y'+2y=\left(\tfrac35+\tfrac25\right)e^{3x}+(-2C+2C)e^{-2x}=e^{3x}$

   係數檢查 $\tfrac35+\tfrac25=1$ 是最值得用手算一遍的部分——$1/5$ 若寫錯會立刻現形。